Была ли дырка в ванне Архимеда?
Была ли дырка в ванне Архимеда?
Архимед, по преданию, свой знаменитый закон гидростатики «на погруженное в жидкость тело...» открыл, сидя в ванне. Но почему-то великий мудрец ставил без внимания всем известную воронку над сливным отверстием, о причине образования которой до сих пор не договорились ученые, хотя мнений высказывалось
довольно много.
Вспомните, как только уровень воды в ванне снизится до определенной величины, поток, уходящий в отверстие, получает вращательное, вихревое движение.
Появляется маленький водоворот, который на редкость устойчив, и нарушить его трудно. Когда в научной литературе обсуждают причины воронкообразования (например, В. И. Поликовский и Р. Г. Перельман, «Воронкообразование в жидкости с открытой поверхностью», Госэнергоиздат, 1959), сначала вспоминают гипотезу академика Д. П Граве. Он считал, что водовороты в проточных водоемах образуются за счет действия кориолисовой силы, возникающей от вращения Земли, и приписывал им определенное направление вращения (если смотреть сверху — против часовой стрелки в северном полушарии). Далее говорят, что этот вывод не универсален и что по более поздним и многочисленным наблюдениям влияние вращения Земли мало, а направление вихревого движения равновероятно. Некоторые видят «корень зла» в вязкости воды (X. Роуз, «Механика жидкости для инженеров-гидротехников», Госэнергоиздат, 1958), хотя механизма действия
сил вязкости на возникновение водоворота объяснить не могут. А вот А. X. Халпачхян, наоборот, указывает на роль вязкости в подавлении воронкообразования. Наконец, А. Альтшуль и М. Марголин в статье «Вихревые воронки» («Наука и жизнь», 1968, № 7) подытоживают состояние вопроса: «В наше время принято считать, что таких причин существует несколько, и главная из них состоит в том, что жидкость подходит к отверстию асимметрично, то есть идет с разных направлений с различными скоростями». Но нетрудно заметить, что и последнее утверждение ничего не проясняет, не отвечает на вопрос: почему
воронки нет, когда уровень воды еще высок, и почему она столь устойчива при низких уровнях даже в специальных опытных сосудах с очень симметричными
стенками?
Попробуем же сами разобраться в проблеме. Согласно принципу наименьшего действия, самому фундаментальному принципу механики (см., например, Л. Д. Ландау
и Е. М. Лифшиц, «Механика», Физматгиз, 1958), инертное тело, двигаясь в определенных границах под действием консервативных сил (хотя бы сил тяжести, как в нашем случае), выбирает из множества возможных, допускаемых границами путей тот, который отвечает наименьшему «действию» или «принуждению». Это
принуждение можно расшифровать как принудительное искривление траекторий частиц жидкости границами (стенками сосудов), при котором возникают центробежные силы, уравновешиваемые — при установившихся течениях — реакциями от соседних слоев жидкости и стенок. При стоке воды в данное отверстие принципиально допустимы траектории, двух типов: потенциальные, то есть проходящие по вертикальным плоскостям, без горизонтальной закрутки, и вихревые, спиральные, при которых образуется воронка (в последнем случае вода обязательно должна иметь открытую поверхность над отверстием). На рисунке показаны
три характерных режима течения во время слива. Когда уровень воды выше некоторого критического, частицы жидкости притекают к отверстию из верхних слоев
по наименее искривленной траектории (1); здесь «работают» толь ко силы тяжести — из-за большой площади потока скорости малы и центробежных сил почти нет
Когда уровень воды ниже критического, потенциальная траектория (2) получает сильное принудительное искривление на входе в отверстие при больших скоростях
течения (площадь потока мала).
Возникают значительные центробежные силы: Fц = V..2../r, где Fц—центробежная сила на единицу массы жидкости, V — скорость частицы, r — радиус кривизны
траектории. Горизонтальные составляющие этих сил Fr сходятся на оси отверстия и уравновешивают друг друга. Но такое равновесие явно неустойчиво: небольшое отклонение линии действия Fr какой-то частицы от центра (локальное возмущение) создает уже вращательный момент сил в потоке, который ничем не компенсируется. Более того, появляется дополнительное тангенциальное ускорение от кориолисовых сил (не нужно путать с упомянутой выше кориолисовой силой от вращения Земли). Из возмущенного потенциального состояния поток переходит в более устойчивое вихревое, которому соответствует спиралеобразная
траектория (3). Эта спираль имеет меньшую кривизну, меньшие центробежные силы, которые, кстати, действуя в сторону от центра, уравновешиваются твердыми
стенками.
На основе только умозрительного сопоставления траекторий и уровней, без учета реального изменения скоростей течения можно сказать, что для выпускной трубы с прямоугольными кромками (в симметричном сосуде) высота критического уровня по величине близка к диаметру отверстия. Если кромки отверстия округлить, критический уровень будет понижаться, вплоть до полного устранения воронкообразования. Все это и наблюдается на опыте.
Что же касается ванны Архимеда, то в ней, по-видимому, дырки не было — воду выливали через край. А жаль — любознательный ученый непременно заинтересовался бы этим загадочным явлением.
Источник: журнал "Техника - молодежи" № 07 за 1972 г.
6 сент. 2020 г.
…